Question

13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是$\widehat{AC}$上的点，BD交AC于点E，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点F，已知AB=5，sin∠CAB=$\frac{3}{5}$，求CF的长．

Answer 1

分析 由圆周角定理得出∠ACB=90°，在Rt△ACB中运用三角函数求出BC=3，再由勾股定理求出AC=4，得出cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，根据切线的性质得到∠ABF=90°，然后在Rt△ABF中运用三角函数求出AF=$\frac{25}{4}$，即可求出CF的长．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，cos∠CAB=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}$×5=$\frac{25}{4}$，
∴CF=AF-AC=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数、勾股定理；熟练掌握切线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．