Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作CD平行线，交AE的延长线于点F，在延长线上截得FG=CD，连结CG、DF．若BG=11，AF=8，则四边形CGFD的面积等于20．

Answer 1

分析 首先可判断四边形CGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形CGFD是菱形，CD∥BF，D为AB中点，E为AF的中点，得EF的长，设GF=x，则BF=11-x，AB=2x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求出x的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∵BG∥CD，
∴AF⊥BG，
∴AD=BD=DF，
∴DF=CD，
∵FG=CD，
∴四边形CGFD为菱形，
∵CD∥BF，D为AB中点，
∴E为AF的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=4，
设GF=x，则BF=11-x，AB=2x，
∵在Rt△ABF中，∠BFA=90°，
∴AF²+BF²=AB²，即（11-x）²+8²=（2x）²，
解得：x=5或x=-$\frac{37}{3}$（舍去），
∴菱形CGFD的面积为：5×4=20，
故答案为：20．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．