Question

11．等边△ABC的边长为2，P是平面内任意一点，△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形．
（1）请用尺规作图的方法作出所有满足条件的点P（不写做法，保留作图痕迹，用P₁，P₂，P₃…表示）；
（2）直接写出∠PAB的度数；
（3）在满足条件的所有点P中任取2点，则这两点距离的最小值是2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最大值是2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形定义分别以A、B、C为圆心，AB为半径画弧即可得到所求的点P．
（2）根据等边三角形的性质以及内角和定理即可得出∠PAB．
（3）利用图象观察即可得出最小值P₁P₂以及最大值P₅P₁₀，根据特殊角时间函数即可求出．

解答 解：（1）如图所示满足条件的点P有10个．
（2）∠PAB=15°或30°或60°或75°或120°或150°．
（3）在RT△P₁BH中，∵BH=1，∠HBP₁=30°，
∴BP₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴最小值P₁P₂=BP₂-BP₁=AB-BP₁=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴最大值P₅P₁₀=P₅H+HC+CP₁₀=2HC+AC=2+2$\sqrt{3}$，
故答案为：，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；2+2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查图形与作图问题，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的判定是解题关键，记住一些常用结论等边三角形的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（a是边长）．