Question

13．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
（1）CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，BE的延长线交CA的延长线于M，补全图形，并探究BE和CD的数量关系，并说明理由；
（2）若BC上有一动点P，且∠BPQ=$\frac{1}{2}$∠ACB，BQ⊥PQ于Q，PQ交AB于F，试探究BQ和PF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再证明△MEC≌△BEC，得BE=EM，则BE=$\frac{1}{2}$CD；
（2）如图2，根据（1）作辅助线，证明PQ∥EC，得$\frac{BQ}{BE}=\frac{PF}{DC}$，利用（1）的结论BE=$\frac{1}{2}$CD，得BQ=$\frac{1}{2}$PF．

解答 解：（1）如图1，BE=$\frac{1}{2}$CD，理由是：
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠ABM=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，
∴△ABM≌△ACD，
∴CD=BM，
∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，
∴△MEC≌△BEC，
∴BE=EM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$CD；
（2）如图2，BQ=$\frac{1}{2}$PF，理由是：
作∠ACB的平分线，交BQ延长线于E，交AB于D，
由（1）得：BE=$\frac{1}{2}$CD，
∵∠BPQ=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BPQ=∠BCE，
∴PQ∥CE，
∴$\frac{BQ}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，$\frac{BF}{BD}=\frac{PF}{DC}$，
∴$\frac{BQ}{BE}=\frac{PF}{DC}$，
∴$\frac{BQ}{PF}=\frac{BE}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴BQ=$\frac{1}{2}$PF．

点评 本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明线段的和、差及倍数关系时，如果这些线段不在同一直线上，可以利用证明三角形全等，将线段转化到同一直线上，再证明其数量关系．