Question

19．如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A₁BC₁D₁，C₁D₁与AD交于点M，延长DA交A₁D₁于F，若AB=1，BC=$\sqrt{3}$，则AF的长度为=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长BA交A₁D₁于H，先确定出∠AFD₁=30°，用含30°的直角三角形的性质依次求出BH，AF即可．

解答 解：如图，延长BA交A₁D₁于H，
由旋转得，A₁B=AB=1，∠CBC₁=∠ABA₁=30°，∠BA₁D₁=∠BAF=90°，
在四边形A₁BAF中，根据四边形的内角和得，∠A₁FA=150°，
∴∠AFH∠=30°，
在Rt△A₁BH中，A₁B=1，∠A₁BA=30°，
∴BH=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴AH=BH-AB=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$-1，
在Rt△AFH中，∠AFH=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$AH=2-$\sqrt{3}$，
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、以及含30°角的直角三角形的性质的应用；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．