Question

3．如图1，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0）和点B（-3，0），该抛物线与y轴的交点为C，顶点是D．
（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求△ACD的面积；
（3）如图2，点E直线y=-x上一动点，在所求抛物线上是否存在点F，使以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）如图1中，连接OD、AC．根据S_△ACD=S_△COD+S_△AOC-S_△AOD计算即可．
（3）分两种情形①当EF=OC，EF∥CO时，E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，设E（m，-m），则F（m，-m²-2m+3）；②当OC为对角线时，设OC的中点为G，则G（0，$\frac{3}{2}$），设E（m，-m），则F（-m，3+m，），分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）把A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点D坐标（-1，4）．

（2）如图1中，连接OD、AC．

∵C（0，3），
∴S_△ACD=S_△COD+S_△AOC-S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×1×4
=1．

（3）如图2中，

①当EF=OC，EF∥CO时，E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，设E（m，-m），则F（m，-m²-2m+3），
则有-m²-2m+3-（-m）=3或-m-（-m²-2m+3）=3，
解得m=-1或0（舍弃）或m=-3 或2，
∴E（-1，1）或（-3，3）或（2，-2）．
②当OC为对角线时，设OC的中点为G，则G（0，$\frac{3}{2}$），设E（m，-m），则F（-m，3+m，），
∴3+m=-m²+2m+3，
∴m=1，
∴E（1，-1），
综上所述，当点E坐标为E（-1，1）或（-3，3）或（2，-2）或（1，-1）时，抛物线上存在点F，使以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查二次函数综合题、三角形的面积、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积，学会分类讨论，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．