Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠D=30°，CD=6．则⊙O的半径为

 

；图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：连接BC，由垂径定理可知CE=

1

2

CD，

BC

=

BD

，故∠BCE=∠D=30°，由此可得出∠OBC的度数，进而判断出△OBC是等边三角形，故OC=BC，在Rt△BCE中由锐角三角函数的定义可求出BC的长即可得出OC的长；由全等三角形的判定定理得出△OCE≌△BDE，故可得出S_阴影=S_扇形OCB．

解答：解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠D=30°，CD=6，
∴CE=DE=

1

2

CD=3，

BC

=

BD

，
∴∠BCE=∠D=30°，BC=BD，
∴∠OBC=60°，∠BOC=2∠D=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC，
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=30°，CE=3，
∴BC=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2

3

∴OC=2

3

；
在Rt△OCE与Rt△BDE中，
∵

OC=BD CE=DE

，
∴△OCE≌△BDE，
∴S_△OCE=S_△BDE，
∴S_阴影=S_扇形OCB=

60π×12

360

=2π．
故答案为：2

3

，2π．

点评：本题考查的是垂径定理，涉及到等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、扇形的面积公式等知识，难度适中．