Question

如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan

β

2

=

1

3

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出

PB

PA

=

1

3

，最后得到tanα•tan

β

2

=

1

3

．

解答：证明：连接AC，则∠A=

1

2

∠POC=

β

2

，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tanα=

BD

BC

，BD∥AC，
∴∠PBD=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PBD∽△PAC，
∴

BD

AC

=

PB

PA

，
∵PB=0B=OA，
∴

PB

PA

=

1

3

，
∴tana•tan

β

2

=

BD

BC

•

BC

AC

=

BD

AC

=

1

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan

β

2

=

1

3

．