Question

18．如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α+β=90°．若OA=6，sinβ=$\frac{3}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 连接OC，则可得出∠A=∠ACO，从而利用外角的知识可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°，继而可判断出BC是⊙O的切线，根据同圆的半径相等OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinB=$\frac{3}{5}$=$\frac{OC}{OB}$可求出OB的长度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度．

解答 解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2∠A，
∴∠BOC+∠B=2∠A+∠B=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∵C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
∵OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinB=$\frac{OC}{OB}$，
∵sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{OB}$，
∴OB=10，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=8．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．关键是利用sinB的值求出OB的长度，有一定难度．