Question

已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，F，E为AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF=45°．
（1）若E为AC上任意一点，连接AG，求证：∠EAG=∠ABE．
（2）若E为AC中点，则EF：FD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，连接AD，证明A、B、D、G四点共圆，即可解决问题．
（2）如图，连接DE；证明AF=2EF=2λ；证明DE=3λ；证明∠DEF=90°，求出DF=

10

λ，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接AD；
∵∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADB=90°，DA=DB；
∴∠DAB=∠ABD=45°；
∵∠BGD=∠EGF=45°，
∴A、B、D、G四点共圆，
∴∠AGB=∠ADB=90°，
即AG⊥BE；
∴∠ABE+∠BAG=∠BAG+∠EAG，
∴∠EAG=∠ABE．
（2）如图，连接DE；
∵∠AGE=90°，∠EGF=45°，
∴∠AGF=∠EGF=45°，
∴AF：EF=AG：EG；
∵∠BAE=∠AGE=90°，∠EAG=∠ABE，
∴△ABE∽△GAE，
∴AB：AE=AG：GE=2：1，
∴AF=2EF（设EF为λ）；
∵点E为AC的中点，
∴AB=AC=6λ；
∵点D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=3λ，
∴∠DEF=90°；
由勾股定理得：DF²=EF²+DE²=10λ²，
∴DF=

10

λ，
EF：DF=λ：

10

λ=1：

10

，
故答案为1：

10

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．