Question

【题目】在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．

（1）如图 1，当点在线段的延长线上时，求的度数；

（2）如图 2，连接，．若的面积为 3，求的面积；

（3）如图 3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）线段长度的最大值为8，长度的最小值1

【解析】

（1）由由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；

（2）由△，易证得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得的面积；

（3）由①当在上运动至垂足点，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小；②当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．

解：（1）如图1，依题意得：△．

，．

．

；

（2）如图2，由（1）知：△．

，，．

，

△△

，

；

（3）线段长度的最大值为8，长度的最小值1．

解题过程如下：①如图，过点作，为垂足，

为锐角三角形，

点在线段上，

在中，，

当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：；

②当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，最大值为：．

综上所述，线段长度的最大值为8，长度的最小值1．．