Question

如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算AC·AF的值。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D为BC的中点， ∴∠ABD=60°，AD=BD=DC， ∴△ABD为等边三角形， ∴O点为△ABD的中心（内心，外心，垂心三心合一）， ∴连接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°， ∴∠OAC=60°， 又∵AE为⊙O的切线， ∴OA⊥AE，∠OAE=90°， ∴∠EAF=30°， ∴AE∥BC， 又四边形ABDF内接于⊙， ∴∠FDC=∠BAC=90°， ∴∠AEF=∠FDC=90°， 即AE⊥DE；
（2）由（1）知，△ABD为等边三角形， ∴∠ADB=60°， ∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC， ∴△ADF∽△ACD， 则　　 ∴AD2=AC·AF， 又 　 ∴AC·AF=36。