Question

4．问题1：在图1中，已知线段AB，CD，它们的中点分别为E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为（1，0）；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为（-2，$\frac{1}{2}$）；
问题2：在图2中，无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，请直接写出点D的坐标为（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$ ）（用含a，b，c，d的式子表示）
问题3：在图3中，一次函数y=x-2与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象交点为A，B，若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出顶点P的坐标（2，-2），（4，4），（4，-4）．

Answer 1

分析 （1）①、②直接根据中点坐标公式即可得出结论；
（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，则AA′∥BB′∥CC′，根据平行线分线段定理可知A′D′=D′B′，由中点坐标公式即可得出x，y的值；
（3）联立直线和反比例函数解析式可求出A、B两点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．

解答 解：（1）①设E（x，y），
∵A（-1，0），B（3，0），点E是线段AB的中点，
∴x=$\frac{3-1}{2}$=1，y=$\frac{0+0}{2}$=0，
∴E（1，0）．
故答案为（1，0）；
②设F（x，y），
∵C（-2，2），D（-2，-1），点F是线段CD的中点，
∴x=$\frac{-2-2}{2}$=-2，y=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴F（-2，$\frac{1}{2}$）．
故答案为（-2，$\frac{1}{2}$）；
（2）如图1，过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，则AA′∥BB′∥CC′．
∵点D为AB的中点，
∴A′D′=D′B′，
∴OD′=a+$\frac{c-a}{2}$=$\frac{a+c}{2}$，即点D的横坐标是$\frac{a+c}{2}$．
同理可得，D点的纵坐标是$\frac{b+d}{2}$，
∴AB的中点坐标为（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）．
故答案为：$\frac{a+c}{2}$；$\frac{b+d}{2}$；
（3）∵由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A（-1，-3），B（3，1）．
如图2，当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（1，-1），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴M为OP中点，
设P点坐标为（x，y），
则$\frac{x+0}{2}$=1，$\frac{y+0}{2}$=-1，
解得x=2，y=-2，
∴P（2，-2）．
如图3，当OB为对角线时，
由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为AP的中点，
结合中点坐标公式可得$\frac{x-1}{2}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{y-3}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=4，y=4，
∴P（4，4）；
当以OA为对角线时，
由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），设P点坐标为（x，y），
由平行四边形的性质可知M为BP中点，
结合中点坐标公式可得$\frac{x+3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{y+1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，解得x=-4，y=-4，
∴P（-4，-4）．
综上所述，P点的坐标为（2，-2），（4，4），（-4，-4）．
故答案为：（2，-2）；（4，4）；（4，-4）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．