Question

9．如图，矩形ABCD中，E、G为AB、CD边上的点，F为BC的中点，且BE=1，CG=4，EF⊥FG．
（1）求证：△EBF∽△FCG；
（2）求EG的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠B=∠C=90°，根据余角的性质得到∠EFB=∠FGC，即可得到结论；
（2）在直角三角形EBF和直角三角形CFG中，利用勾股定理分别求出EF和FG的长度，再利用勾股定理求出EG的长度即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥FG，
∴∠EFB+∠GFC=∠EFB+∠GFC=90°，
∴∠EFB=∠FGC，
∴△EBF∽△FCG；

（2）由（1）证得△EBF∽△FCG，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CG}$，
∵F为BC的中点，
∴BF=CF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CF}{CG}$，
∴CF²=BE•CG=4，
∴CF=BF=2，BC=4，
∴EF²=BE²+BF²=5，FG²=CF²+CG²=20，
∵EF⊥FG，
∴EG²=EF²+FG²=25，
∴EG=5．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．