Question

18．如图，已知抛物线y=ax²+c过点（-2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B（x，$\frac{1}{4}$x²+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF²=x²+（$\frac{1}{4}$x²+1-2）²=，再利用配方法可得到BF=$\frac{1}{4}$x²+1，由于BC=$\frac{1}{4}$x²+1，所以BF=BC；
（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；
（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$得B（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$），设Q（t，$\frac{1}{4}$t²+1），则E（t，t+2），则EQ=-$\frac{1}{4}$t²+t+1，则S_△QBF=S_△EQF+S_△EQB=$\frac{1}{2}$•（2+2$\sqrt{2}$）•EQ=$\frac{1}{2}$•（2+2$\sqrt{2}$）（-$\frac{1}{4}$t²+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）把点（-2，2），（4，5）代入y=ax²+c得$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=2}\\{16a+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+1；
（2）BF=BC．
理由如下：
设B（x，$\frac{1}{4}$x²+1），而F（0，2），
∴BF²=x²+（$\frac{1}{4}$x²+1-2）²=x²+（$\frac{1}{4}$x²-1）²=（$\frac{1}{4}$x²+1）²，
∴BF=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵BC⊥x轴，
∴BC=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴BF=BC；
（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，
∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，
∴CB=CF=PF，
而CB=FB，
∴BC=CF=BF，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠BCF=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OCF中，CF=2OF=4，
∴PF=CF=4，
∴P（0，6），
即自然数m的值为6；
（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，
当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}}\\{y=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{2}}\\{y=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，则B（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$），
设Q（t，$\frac{1}{4}$t²+1），则E（t，t+2），
∴EQ=t+2-（$\frac{1}{4}$t²+1）=-$\frac{1}{4}$t²+t+1，
∴S_△QBF=S_△EQF+S_△EQB=$\frac{1}{2}$•（2+2$\sqrt{2}$）•EQ=（$\sqrt{2}$+1）（-$\frac{1}{4}$t²+t+1）=-$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$（t-2）²+2$\sqrt{2}$+2
当t=2时，S_△QBF有最大值，最大值为2$\sqrt{2}$+2，此时Q点坐标为（2，2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．