Question

13．在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，1），以AB为斜边作等腰Rt△ABC，求直角顶点C的坐标．

Answer 1

分析 以AB为直径作⊙F，过圆心F作AB的垂直平分线，与⊙F的交点分别为C₁，C₂，利用利用勾股定理可知点C₁符合题意，最后利用全等三角形可求出点C₂的坐标．

解答 解：以AB为直径作⊙F交x轴与点C₁和点D，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵A（0，3），B（4，1），
∴利用中点公式可以求出F（2，2），
由勾股定理求出：AB=$2\sqrt{5}$，
∴FG=2，
∵C₁F=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求出：C₁G=1，
∴C₁的坐标为（1，0），
∴由勾股定理可求得：C₁B=$\sqrt{10}$，
∵C₁B²=C₁F²+BF²，
∴△C₁FB是直角三角形，
∵C₁F=BF，
∴∠C₁BF=45°，
∴△AC₁B是等腰直角三角形，
连接C₁F，并延长交⊙F于点C₂，连接C₂D，
∴∠C₁DC₂=90°，
∴由中位线定理可知：C₂D=2FG=4，
∴由勾股定理可知：C₁D=2，
∴OD=3，
∴C₂的坐标为（3，4），
综上所述，点C的坐标为（1，0）或（3，4）．

点评 本题考查等腰三角形的性质，涉及圆周角定理，勾股定理及其逆定理等知识，综合程度较高．