Question

如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的平分线交于点P．
（1）求证：AB=CP+BC；
（2）若∠A、∠B的外角平分线以及∠C的平分线交于点P，
①（1）中的结论是否成立？
②请画出图形，写出结论并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理，得出∠PAB+∠PBA=45°，∠PCB+∠PBC=67.5°，即可求出∠APB=135°，∠BPC=112.5°，作辅助线在AB上截取BG=BC，可证出△PBC≌△PBG（SAS），即可得出∠BPC=∠BPG=112.5°，PC=PG，BC=BG，再可证出∠APG=∠APB-∠BPG=22.5°，得出∠PAG=∠APG，进而得出AG=PG，即可得出AB=CP+BC．
（2）①（1）中的结论不成立；②延长AB至G，使BG=BC，先证得∠ACG=∠CBP112.5°，∠CAB=∠PCB=45°，然后根据ASA证得△GAC≌△PCB，即可证得PC=AB+BC．

解答：（1）证明：在AB上截取BG=BC，
∵等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠A、∠B、∠C的平分线交于点P．
∴∠PAB=∠PBA=22.5°，∠ACP=∠BCP=45°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，∠PCB+∠PBC=67.5°
∴∠APB=135°，∠BPC=112.5°，
在△PBC和△PBG中，

BC=BG ∠PBC=∠PBG PB=PB

，
∴△PBC≌△PBG（SAS），
∴∠BPC=∠BPG=112.5°，PC=PG，BC=BG，
∴∠APG=∠APB-∠BPG=22.5°，
∴∠PAG=∠APG，
∴AG=PG，
∴AG=PC，
∴AB=BG+AG=CP+BC，
即AB=CP+BC；

（2）①（1）中的结论不成立；
②如图2所示，PC=AB+BC；
证明：延长AB至G，使BG=BC，
∴∠BCG=∠BGC，
∵∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBG=135°，
∴∠BCG=∠BGC=22.5°，
∴∠ACG=112，5°，
∵∠A、∠B的外角平分线以及∠C的平分线交于点P，
∴∠PCB=45°，∠PBC=112.5°，
∴∠ACG=∠CBP，∠CAB=∠PCB=45°，
在△GAC和△PCB中，

∠ACG=∠CBP AC=CB ∠CAB=∠PCB=45°

，
∴△GAC≌△PCB（ASA），
∴AG=PC，
∴PC=AB+BG=AB+BC，
即PC=AB+BC．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．