Question

17．如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=30cm，AD=20cm，四边形PQRS是正方形．
（1）求证：AS•BC=AB•SR．
（2）求正方形PQRS的边长．

Answer 1

分析 （1）由四边形PQRS是正方形，可得SR∥BC，即可证得△ASR∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）首先设正方形PQRS的边长为xcm，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：$\frac{x}{30}$=$\frac{20-x}{20}$，解此方程即可求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形PQRS是正方形，
∴SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴AS：AB=SR：BC，
∴AS•BC=AB•SR．

（2）解：设正方形PQRS的边长为xcm，
∵AD是△ABC的高，SR∥BC，
∴AE是△ASR的高，
则AE=AD-ED=20-x（cm），
∵△ASR∽△ABC，
∴$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{x}{30}$=$\frac{20-x}{20}$，
解得：x=12，
∴正方形PQRS的边长为12cm．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．