Question

7．已知关于x的方程$\frac{1}{4}$x²-（m-2）x+m²=0的两根为x₁，x₂
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁²-x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；当x₁+x₂=0时，运用两根关系可以得到4（m-2）=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．

解答 解：（1）由题意有△=[-（m-2）]²-4×$\frac{1}{4}$m²≥0，
解得m≤1，
所以实数m的取值范围是m≤1；

（2）由两根关系，得根x₁+x₂=4（m-2），x₁•x₂=4m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即4（m-2）=0，解得m=2，
∵m≤1，
∴m=2不合题意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂，
∴△=0，由（1）知m=1，
故当x₁²-x₂²=0时，m=1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．