题目内容
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．
（1）如图1，AB与BC的数量关系是 ．
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想CB、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出CB、BF、BP三者之间的数量关系．
（1）如图1，AB与BC的数量关系是
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想CB、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出CB、BF、BP三者之间的数量关系．
考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线
专题：
分析：（1）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可解决问题．
（2）如图2，首先证明∠CDP=∠BDF，然后运用SAS公理证明△CDP≌△BDF，得到CP=BF，即可解决问题．
（3）如图3，类比（2）中的方法，同理可证△CDP≌△BDF，即可解决问题．
（2）如图2，首先证明∠CDP=∠BDF，然后运用SAS公理证明△CDP≌△BDF，得到CP=BF，即可解决问题．
（3）如图3，类比（2）中的方法，同理可证△CDP≌△BDF，即可解决问题．
解答：
解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
故答案为：AB=2BC．
（2）如图2，∵点D是AB的中点，
∴AB=2BD，而AB=2BC，
∴BD=BC；而∠ABC=90°-∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠CDB=60°，而∠PDF=60°，
∴∠CDP=∠BDF；在△CDP与△BDF中，
，
∴△CDP≌△BDF（SAS），
∴CP=BF，
∴CB=BF+PB．
（3）如图，CB、BF、BP三者之间的数量关系是：BF=CB+BP．
解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，
故答案为：AB=2BC．
（2）如图2，∵点D是AB的中点，
∴AB=2BD，而AB=2BC，
∴BD=BC；而∠ABC=90°-∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠CDB=60°，而∠PDF=60°，
∴∠CDP=∠BDF；在△CDP与△BDF中，
|
∴△CDP≌△BDF（SAS），
∴CP=BF，
∴CB=BF+PB．
（3）如图，CB、BF、BP三者之间的数量关系是：BF=CB+BP．
点评：该题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中隐含的数量关系，正确运用直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE．下列不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
| A、∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF |
| B、AB=DE，∠B=∠E，BC=EF |
| C、AB=DE，BC=EF，AC=DF |
| D、AB=DE，∠B=∠E，AC=DF |
到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（ ）
| A、三条中线的交点 |
| B、三条角平分线的交点 |
| C、三条边的垂直平分线的交点 |
| D、三条高的交点 |
如图，已知△ABC中，AB=AC．