Question

12．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=1.5，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是1512π．

Answer 1

分析 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．

解答 解：解：转动一次A的路线长是：$\frac{90π×2}{180}$=π，
转动第二次的路线长是：$\frac{90π×2.5}{180}$=$\frac{5}{4}$π，
转动第三次的路线长是：$\frac{90π×1.5}{180}$=$\frac{3}{4}$π，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：$\frac{90π×2}{180}$=π，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+$\frac{5}{4}$π+$\frac{3}{4}$π=3π，
∵2016÷4=504
∴这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：3π×504=1512π．
故答案为1512π；

点评 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用．注意掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．