Question

16．如图，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连接OR．
（1）当∠AOR=30°时，求OP的长；
（2）设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系及定义域．

Answer 1

分析 如图，扇形中，连结OR．
（1）根据含30°的直角三角形的性质可求RS，再根据矩形的性质可得PQ，再根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质表示出PQ，根据矩形的性质表示出RS，再根据勾股定理即可得到y与x的函数关系及定义域．

解答 解：如图，扇形中，连结OR．

（1）∵∠AOR=30°时，
∴RS=$\frac{1}{2}$OR=1，
∵四边形PQRS是矩形，
∴PQ=RS=1，
∵∠AOB=45°，
∴OP=PQ=1；
（2）∵∠AOB=45°，
∴OP=PQ=x；
∵四边形PQRS是矩形，
∴PQ=RS=x，
在Rt△ORS中，OS²+RS²=OR²，
即y²+x²=2²，
y=$\sqrt{{2}^{2}-{x}^{2}}$（0＜x＜$\sqrt{2}$）

点评 考查了勾股定理，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，函数关系式，关键是添加辅助线进行求解．