Question

12．如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），连结AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F
（1）求证：AE=AF；
（2）连结EF，M为EF的中点，连结BM，求$\frac{BM}{CE}$的值；
（3）图2中，以BF为边作正方形BFHG，AF与CG相交于P点，当点E在边CD上运动时（不与C、D重合），请直接写出∠APD=45度．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，∠ABF=90°，因为∠FAE=90°，所以∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，即；∠FAB=∠EAD，得到△ABF≌△DAE，求出AF=AE；
（2）取FC的中点N，连接MN，AM，因为点M是FE的中点，得到CE=2MN，由∠AKM=∠FKB，∠AMF=∠MNB=90°，得到△AKM～△BKM，$\frac{AK}{FK}$=$\frac{KM}{BK}$，因为∠AKB∠=MKB，所以△AFK∽△BKF，得到∠KBM=∠AFK=45°，∠MBN=45°，所以BM=$\sqrt{2}MN$，$\frac{BM}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）过点D作DQ⊥PD交PC的延长线于Q，由四边形BFHG是正方形，得到BG=BF，所以△ABF≌△CBG，∠FAB=∠BCG，由∠AGP=∠CGB，得到∠APG=∠ABC=90°，因为∠ADC=∠PDQ=90°，得到∠ADP=∠QDC，由AB∥CD，得到∠DCQ=∠AGC，∠PAG+∠BAD=∠PAG+∠APG，即∠PAD=∠AGC=∠DCQ，得到△PAD≌△QCD（ASA），PD=DQ，∠DPQ=45°，得出∠APD=45°．

解答 解：（1）如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，
∵∠FAE=90°，∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
即；∠FAB=∠EAD，
在△ABF与△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠D}\end{array}\right.$，
△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF=AE；

（2）如图1取FC得中点N，连接MN，AM，
∵点M是FE的中点，
∴CE=2MN，
∵∠AKM=∠FKB，∠AMF=∠MNB=90°，
∴△AKM∽△BKF，
∴$\frac{AK}{FK}$=$\frac{KM}{BK}$，∵∠AKB∠=MKB，
∴△AFK∽△BKF，
∴∠KBM=∠AFK=45°，
∴∠MBN=45°，∴BM=$\sqrt{2}MN$，
∴$\frac{BM}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）如图2过点D作DQ⊥PD交PC的延长线于Q，
∵四边形BFHG是正方形，
∴BG=BF，
在△ABF与△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠ABC}\\{BF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠FAB=∠BCG，
∵∠AGP=∠CGB，
∴∠APG=∠ABC=90°，
∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠QDC，
∵AB∥CD，∴∠DCQ=∠AGC，∴∠PAG+∠BAD=∠PAG+∠APG，
即∠PAD=∠AGC=∠DCQ，
在△PAD与△DCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠QCD}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠QDC}\end{array}\right.$
∴△PAD≌△QCD（ASA），
∴PD=DQ，
∴∠DPQ=45°，
∴∠APD=45°．
故答案：45°．

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确的做出辅助线是截图的关键．