Question

20．如图，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=-$\frac{3}{4}$x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．

Answer 1

分析 先利用一次函数解析式求出B（0，3），再根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），Q（a，-$\frac{3}{4}$a+3），则可利用两点间的距离公式得到PQ=|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|，BQ=|$\frac{5}{4}$a|，然后利用PQ=BQ得到|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|=|$\frac{5}{4}$a|，讨论：$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=$\frac{5}{4}$或$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=-$\frac{5}{4}$a，然后分别解一元二次方程即可得到a的值．

解答 解：当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，则B（0，3），
∵点P的横坐标为a，PQ∥y轴，
∴P（a，-$\frac{1}{2}$a²+2a+5），Q（a，-$\frac{3}{4}$a+3），
∴PQ=|-$\frac{1}{2}$a²+2a+5-（-$\frac{3}{4}$a+3|=|-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{11}{4}$a+2|=|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|，
BQ=$\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{3}{4}a+3-3）^{2}}$=|$\frac{5}{4}$a|，
∵PQ=BQ，
∴|$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2|=|$\frac{5}{4}$a|，
当$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=$\frac{5}{4}$a，整理得a²-8a-4=0，解得a₁=4+2$\sqrt{5}$，a₂=4-2$\sqrt{5}$，
当$\frac{1}{2}$a²-$\frac{11}{4}$a-2=-$\frac{5}{4}$a，整理得a²-3a-4=0，解得a₁=4，a₂=-1，
综上所述，a的值为4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．
故答案为4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$或4或-1．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程．