Question

20．如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB₁→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数），那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，可得当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2009条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D₁，则求BA₁的长即可．

解答 解：∵黑甲壳虫爬行的路径为：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA→AA₁→A₁D₁→…，
白甲壳虫爬行的路径为：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁→D₁A₁→A₁A→AB→BB₁→…，
∴黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，
∵2013=335×6+3，
∴当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D₁，
∴CD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径 是解此题的关键．