Question

【题目】如图，点是直径上一点，过作交于点，连接，延长至点，连接，使．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）BC=12

【解析】

（1）求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=90°，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OD，求出∠PDC=∠DOC，解直角三角形求出，设DC=4x，OC=3x，求出3x+3=5x，求出x，即可得出答案．

（1）证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵CD⊥AB于点C，

∴∠OAD+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，

∵∠PDA=∠ADC，

∴∠PDA+∠ODA=90°，

即∠PDO=90°，

∴PD⊥OD，

∵D在⊙O上，

∴PD是⊙O的切线；

（2） ∵∠PDO=90°，

∴∠PDC+∠CDO=90°，

∵CD⊥AB于点C，

∴∠DOC+∠CDO=90°，

∴∠PDC=∠DOC，

∵tan∠PDC=,

∴tan∠DOC==

设DC=4x，CO=3x，则OD=5x，

∵AC=3，

∴OA=3x+3，

∴3x+3=5x，

∴x=

∴OC=3x=

OD=OB=5x=

∴BC=12．