Question

1．如图，矩形ABCD中，点E为对角线的交点，过点E的垂线交BC于点F，若AB=4，cos∠CEF=$\frac{4}{5}$，则△BEF的面积为5．

Answer 1

分析 如图连接DF，取DF的中点O，连接OE、OC．首先证明D、E、F、C四点共圆，推出∠FEC=∠FDC，可得cos∠FEC=cos∠FDC=$\frac{4}{5}$，推出$\frac{CD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，推出DF=5，由BE=DE，FE⊥BD，推出BF=DF=5，可得S_△BFD=$\frac{1}{2}$•BF•CD=10，由BE=DE，可得S_△BFE=$\frac{1}{2}$S_△BFD，即可解决问题．

解答 解：如图连接DF，取DF的中点O，连接OE、OC．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵OD=OF，∠DEF=90°，
∴OE=OD=OF=OC，
∴D、E、F、C四点共圆，
∴∠FEC=∠FDC，
∴cos∠FEC=cos∠FDC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，∵CD=4，
∴DF=5，
∵BE=DE，FE⊥BD，
∴BF=DF=5，
∴S_△BFD=$\frac{1}{2}$•BF•CD=10，
∵BE=DE，
∴S_△BFE=$\frac{1}{2}$S_△BFD=5．
故答案为5．

点评 本题考查矩形的性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．