Question

9．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，E是AC的中点，过E作EF⊥AB于D，交⊙O于F，交AC于M，则下列结论：①AM=ME；②DE=$\frac{1}{2}$AC；③DM=$\frac{1}{2}$EM；④OD=$\frac{1}{2}$BC，其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 连接AE、OE，OE交AC于N，由垂径定理得出$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，得出$\widehat{AE}=\widehat{CE}=\widehat{AF}$，因此∠MEA=∠MAE，$\widehat{AC}=\widehat{EF}$，得出AM=ME，①正确，AC=EF，得出DE=$\frac{1}{2}$AC，②正确；证出ON是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出ON=$\frac{1}{2}$BC，得出OD=$\frac{1}{2}$BC，④正确；即可得出结果．

解答 解：连接AE、OE，OE交AC于N，如图所示：
∵E是AC的中点，EF⊥AB于D，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}=\widehat{AF}$，
∴∠MEA=∠MAE，$\widehat{AC}=\widehat{EF}$，
∴AM=ME，①正确，AC=EF，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，②正确，OD=ON，
∵OA=OB，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，④正确；
由题意不能得出DM=$\frac{1}{2}$EM；
正确的是①②④；故选：D．

点评 本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．