Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（y，﹣x）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）．

（1）点A（1，2）的变换点A'的坐标是　 　；

（2）点B（﹣2，3）的变换点B′在反比例函数y＝的图象上，则k＝　 　，∠BOB'的大小是　 　°；

（3）点P在抛物线y＝﹣（x﹣2n）2+3上，点P的变换P′的坐标是（﹣4，﹣n），求n的值．

（4）点P在抛物线y＝﹣x2﹣4x+1的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，2）；（2）6，90；（3）n=或1；（4）m的取值范围为：m≥0或m=或m=﹣．

【解析】

（1）x=1＞0，故点A′（﹣1，2），即可求解；

（2）﹣2＜0，则点B′的坐标为：（3，2），k=2×3=6，点B（﹣2，3）的变换点B′相当于点B围绕原点旋转了90°，即可求解；

（3）点P（4，﹣n）的变换P′的坐标是（﹣4，﹣n），将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：n=或1；

（4）分m≥0、m＜0两种情况，分别求解即可．

（1）x=1＞0，故点A′（﹣1，2），

故答案为：（﹣1，2）；

（2）﹣2＜0，则点B′的坐标为：（3，2），

k=2×3=6，

点B（﹣2，3）的变换点B′相当于点B围绕原点旋转了90°，

故答案为：6，90；

（3）点P（4，﹣n）的变换P′的坐标是（﹣4，﹣n），

将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：n=或1；

（4）点P的横坐标为m，则点P（m，n），n=﹣m2﹣4m+1，

①当m≥0时，此时点P、P′关于y轴对称，故正方形PMP'N的对角线MN垂直于x轴，

故m≥0；

②当m＜0时，则点P′（n，﹣m），

若PP′⊥x轴，则点P、P′的横坐标相等，即n=m，

故n=﹣m2﹣4m+1=m，

解得：m=（正值已舍去）；

若MN⊥x轴，则PP′∥x轴，则P、P′的纵坐标相等，即n=﹣m，

即n=﹣m2﹣4m+1=﹣m，

解得：m=﹣（正值已舍去）；

综上，m的取值范围为：m≥0或m=或m=﹣．