Question

5．某超市准备购进A、B两种品牌台灯，其中A品牌台灯每盏进价比B品牌台灯每盏进价贵30元，A品牌台灯每盏售价120元，B品牌台灯每盏售价80元．已知，用1040元购进的A品牌台灯的数量与用650元购进的B品牌台灯数量相同．
（1）求A、B两种品牌台灯的进价分别是多少元？
（2）该超市打算购进A、B两种品牌台灯共100盏，同时要求A、B两种品牌台灯的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问该超市有几种进货方案？
（3）在（2）的所有进货方案中，该超市决定对A品牌台灯进行降价促销，A品牌台灯每盏降价m（8?m?15）元，B品牌台灯售价不变，那么该超市如何进货才能获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）根据：“1040元购进的A品牌台灯的数量=650元购进的B品牌台灯数量”相等关系，列方程求解可得；
（2）根据：“3400≤A、B品牌台灯的总利润≤3550”不等关系，列不等式组，可知数量范围，确定方案数；
（3）利用：总利润=A品牌台灯利润+B品牌台灯利润，列出函数关系式，结合函数增减性，分类讨论即可．

解答 解：（1）设A品牌台灯进价为x元/盏，则B品牌台灯进价为（x-30）元/盏，根据题意得
$\frac{1040}{x}=\frac{650}{x-30}$，解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
则A品牌台灯进价为80元/盏，
B品牌台灯进价为x-30=80-30=50（元/盏），
答：A、B两种品牌台灯的进价分别是80元/盏，50元/盏．
（2）设超市购进A品牌台灯a盏，则购进B品牌台灯有（100-a）盏，根据题意，有
$\left\{\begin{array}{l}{（120-80）a+（80-50）（100-a）≥3400}\\{（120-80）a+（80-50）（100-a）≤3550}\end{array}\right.$
解得，40≤a≤55．
∵a为整数，
∴该超市有16种进货方案．
（3）令超市销售台灯所获总利润记作w，根据题意，有
w=（120-m-80）a+（80-50）（100-a）
=（10-m）a+3000
∵8?m?15
∴①当8＜m＜10时，即10-m＜0，w随a的增大而减小，
故当a=40时，所获总利润w最大，
即A品牌台灯40盏、B品牌台灯60盏；
②当m=10时，w=3000；
故当A品牌台灯数量在40至55间，利润均为3000；
③当10＜m＜15时，即10-m＞0，w随a的增大而增大，
故当a=55时，所获总利润w最大，
即A品牌台灯55盏、B品牌台灯45盏；

点评 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，不等式组的运用及一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式并讨论是关键，属中档题．