Question

4．如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD上一点，CE=DF，BE，CF交于点G，O为BD的中点．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）求证：BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是正方形，判定△BCE≌△CDF（SAS），可得∠CBE=∠DCF，再根据∠BCG+∠DCF=90°，得出∠BCG+∠CBE=90°，进而得到∠BGC=90°，即BE⊥CF；
（2）连接OC，过O作OH⊥OG，交BE于H，根据∠BOC=∠BGC=90°，可得B、O、G、C四点共圆，进而得到∠OGB=∠OCB=45°，即△OGH是等腰直角三角形，进而得出HG=$\sqrt{2}$OG，再判定△BOH≌△COG（SAS），得出BH=CG，最后根据BG-BH=HG，即可得到BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCD=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°，即BE⊥CF；

（2）如图，连接OC，过O作OH⊥OG，交BE于H，
∵O为BD的中点，即O为正方形的对称中心，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BOC=∠BGC=90°，
∴B、O、G、C四点共圆，
∴∠OGB=∠OCB=45°，
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴HG=$\sqrt{2}$OG，HO=GO，
∵∠BOC=∠GOH=90°，
∴∠BOH=∠COG，
在△BOH和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠BOH=∠COG}\\{HO=GO}\end{array}\right.$，
∴△BOH≌△COG（SAS），
∴BH=CG，
又∵BG-BH=HG，
∴BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求解．