Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c 与x轴交与点A（1，0）与点B，且过点C（0，3），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

∴

b=-2 c=3

∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）存在．
理由如下：设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-

9

2

，
若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大，
过P点作PE⊥BO，
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE•PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

当x=-

3

2

时，S_{四边形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

，
∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=

15

4

，∴点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．