Question

13．P为正△ABC内一点，PD、PE、PF分别垂直△ABC各边，D、E、F分别为垂足，若PD=1，PE=2，PF=3，则△ABC的面积为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AP、BP、CP，设等边三角形的边长为x，根据等边三角形的性质结合三角形的面积即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出等边三角形的边长，再将其代入S_△ABC=3x即可得出结论．

解答 解：连接AP、BP、CP，如图所示．
设等边三角形的边长为x，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x•1+$\frac{1}{2}$x•2+$\frac{1}{2}$x•3，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²=3x，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=3x=12$\sqrt{3}$．
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质．三角形的面积以及解一元二次方程，根据等边三角形的性质结合三角形的面积找出关于x的一元二次方程是解题的关键．