Question

4．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空

（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1=2n²+2n+1．

Answer 1

分析 （1）根据1+3+5+7=16可得出16=4²；设第n幅图中球的个数为a_n，列出部分a_n的值，根据数据的变化找出变化规律“a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²”，依此规律即可解决问题；
（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．

解答 解：（1）1+3+5+7=16=4²，
设第n幅图中球的个数为a_n，
观察，发现规律：a₁=1+3=2²，a₂=1+3+5=3²，a₃=1+3+5+7=4²，…，
∴a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²．
故答案为：4²；n²．
（2）观察图形发现：
图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，
即1+3+5+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]+（2n-1）+…+5+3+1，
=1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1，
=a_n-1+（2n+1）+a_n-1，
=n²+2n+1+n²，
=2n²+2n+1．
故答案为：2n+1；2n²+2n+1．

点评 本题考查了规律型中图形的变化类，解题的关键是根据图中小球数量的变化找出变化规律“a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分图中球的数量，根据数值的变化找出变化规律是关键．