Question

8．已知：如图，在△ABC中，CB=CA，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线； 
 （2）若BD=1，cosB=$\frac{1}{2}$，求$\widehat{DB}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，则CD⊥AB，再利用等腰三角形的性质得AD=BD，于是可判断OD为△CAB的中位线，所以OD∥CA，然后证明DE⊥AC，于是利用切线的判定定理可得到结论；
（2）利用特殊角的三角函数值得到∠B=60°，则△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，BD=OB=1，然后根据弧长公式求解．

解答 （1）证明：连接OD、CD，如图，
∵CD为直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵CB=CA，
∴AD=BD，
而BO=CO，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥CA，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线； 
（2）解：∵cosB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
而OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，BD=OB=1，
∴$\widehat{DB}$的长=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了弧长公式和等腰三角形的性质．