Question

如图，△ABC中I是角平分线BD、CE的交点．
（1）求证：∠BIC=90°+

1

2

∠A；
（2）若∠A=60°，探索BC、BE、CD有何关系？猜想并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据角平分线的性质求出∠IBC+∠ICB=

1

2

（180°-∠A），然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BIC的度数；
（2）连接IA，作IF⊥AB于点F，IG⊥AC于点G，IH⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得IF=IG=IH，从而可得△BIF和△BIH全等，△CIG和△CIH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FIG=120°，根据对顶角相等求出∠EID=120°，然后推出∠EIF=∠DIG，再利用“角边角”证明△EIF和△DIG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG，ID=IE，即可求解．

解答：（1）证明：∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
又∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（180°-∠A），
∴∠BIC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）解：如图，连接IA，作IF⊥AB于点F，IG⊥AC于点G，IH⊥BC于点H，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于I，
∴IF=IG=IH，
利用“HL”可得△BIF≌△BIH，△CIG≌△CIH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四边形AFIG中，∠FIG=360°-60°-90°×2=120°，
∴DIG=∠FIG-∠DIF=120°-∠DIF，
又∵∠EID=∠BIC=120°，
∴∠EIF=∠EID-∠DIF=120°-∠DIF，
∴∠EIF=∠DIG，
在△EIF和△DIG中，

∠EIF=∠DIG IF=IG ∠EFI=∠DGI=90°

，
∴△EIF≌△DIG（ASA），
∴EF=DG，ID=IE，故C选项正确；
∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD-DG=BE+CD，
即BC=BE+CD．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，并根据∠A=60°推出，∠FIG=∠EID=120°，从而证明得到∠EIF=∠DIG是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．