Question

18．如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF．延长CD至G，使GD=EB，连接AG，易证△AFG≌△AFE．所以EF，BE，DF之间的数量关系为 EF=DF+BE．
（1）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF．试猜想EF，BE，DF之间的数量关系；（直接写出结果，不需证明）
（2）如图3，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF．试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图4，点E，F在正方形ABCD的对角线BD上，∠EAF=45°，若BE=2，DF=1，请直接写出EF的长．

Answer 1

分析 （1）在BE上截取BG=DF，连接AG；先由SAS证明△ABG≌△ADF，得出AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证出∠EAG=∠EAF，由SAS证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，即可得出结论；（2）在CD上截取DG=BE，连接AG；先由SAS证明△ABE≌△ADG，得出∠EAB=∠GAD，AE=AG，再证出∠GAF=∠EAF，由SAS证明△AEF≌△AGF，得出EF=GF，即可得出结论；
（3）作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，连接AG、EG；先由勾股定理求出EG，求出∠ABG=∠ADF，由SAS证明△ABG≌△ADF，得出AG=AF，∠BAG=∠DAF，证出∠EAG=∠EAF，证明△AEG≌△AEF，得出EF=EG即可．

解答 （1）解：BE=DF+EF；理由如下：
在BE上截取BG=DF，连接AG；如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠GAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠EAG=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∴EG+BG=EF+DF，
即BE=EF+DF；
（2）解：DF=EF+BE；理由如下：
在CD上截取DG=BE，连接AG；如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABE=90°，
在△ABE和△ADG 
中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠ABE=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠EAB=∠GAD，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵DF=GF+GD，
∴DF=EF+BE；
（3）解：EF的长为$\sqrt{5}$，理由如下：
作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，连接AG、EG；如图4所示：
则∠EBG=90°，
∴EG=$\sqrt{B{E}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADF=45°，
∴∠ABG=45°，
∴∠ABG=∠ADF，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=DF}&{\;}\\{∠ABG=∠ADF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠GAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}&{\;}\\{∠EAG=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∴EF=$\sqrt{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强；每小题都需要通过作辅助线证明两次三角形全等才能得出结论．