Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=10cm，OC=8cm，将矩形沿直线CD折叠，使点B落在x轴上点E处．
（1）求E点坐标；
（2）将△AED沿x轴向左平移，速度为1cm/秒，设平移的时间为t（秒），且0＜t＜

25

4

，△AED与△CED重叠部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求出S的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）利用勾股定理，则E的坐标即可得到；
（2）分当0＜t＜4和当4＜t＜

25

4

两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得阴影部分面积．

解答：解（1）∵矩形ABCD，∴∠O=∠B=90°
由折叠得：BC=CE=10，0C=8
∴由勾股定理可得OE=6
∴E（6，0）

（2）设ED=BD=xcm，AD=（8-x）cm
由（1）得AE=10-6=4
∴由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²
∴x=5∴ED=5，AD=3，AE=4
∴S△ADE=

1

2

×3×4=6
∴当0＜t＜4时，如图①，可证△A₁QE∽△ADE，△EPE₁∽△DAE；
当4＜t＜

25

4

时，如图②，可证△D₂MN∽△EA₂N∽△DAE；
①当0≤t＜4时，AA₁=EE₁=tcm，A₁E=（4-t）cm 
∴S△A1EQ=S△AED•(

4-t

4

)2=6•

(4-t)2

16

=

3(4-t)2

8

S△EPE1=S△AED•(

t

5

)2=

6t2

25

∴S=6-

3

8

(4-t)2-

6

25

t2=-

123

200

t2+3t=-

123

200

(t-

100

41

)2+

150

41

②当4≤t＜

25

4

时，

A2N

AE

=

A2E

AD

∴A2N=

4(t-4)

3

∴D2N=3-

4

3

(t-4)=-

4

3

t+

25

3

∴S=6•(

- 3 4 t+ 25 3

5

)2=

2

75

(4t-25)2
③当0＜t＜4时，t=

100

41

时，Smax=

150

41

；
当4≤t＜

25

4

时，t=4时，Smax=

54

25

；
∵

150

41

＞

54

25

∴t=

100

41

时，Smax=

150

41

．

点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，关键是分情况讨论求阴影部分面积．