题目内容
15．
如图，已知△ABD和△CEF都是斜边长为2cm的全等直角三角形，其中∠ABD=∠FEC=60°，且B、D、C、E在同一直线上，DC=4．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．
（2）△ABD沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABD运动的时间为t s，
①当t为何值时，?ABFE是菱形？请说明理由．
②?ABFE有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
分析 （1）根据全等三角形的对应角相等、对应边的比相等得到AB平行且等于EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）①根据菱形的对角线的性质得到当点C和点D重合时，四边形ABFE是菱形，求出此时t的值即可；
②当四边形ABFE是矩形时，∠BAE=90°，根据矩形的性质求得线段CD的长，从而求得t的值，由∠BAE=90°，可得∠AEB=90°-60°=30°，可得BE的长，由勾股定理可得AE的长，利用矩形的面积公式可得矩形的面积．
解答 
（1）证明：∵Rt△ABD≌Rt△FEC，
∴AB=EF，∠ABD=∠FEC，
∴AB∥EF，
∴平行四边形ABFE是平行四边形；
（2）解：①如图，当点D与点C重合时，四边形ABFE是菱形，
此时△ABD运动的距离为4cm，
∴t=4（s）；
②可能，
当四边形ABFE是矩形时，∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°-60°=30°，
∵AB=2cm，
∴BE=4cm，BD=1cm，
∴CD=4-1-1=2cm，
∴t=2（s），
∵BE=4cm，AB=2cm，∠BAE=90°，
∴AE=$\sqrt{{BE}^{2}{-AB}^{2}}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴矩形ABFE的面积为：2×$2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$（cm2），
∴当t=2s时，?ABFE有可能是矩形，此时该矩形的面积为4$\sqrt{3}$cm2．
点评 本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，根据菱形的性质，矩形的性质解得t是解答此题的关键．
练习册系列答案
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