Question

20．如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，G是CD上一点，F是CB延长线上一点，BF=DG．
（1）求证：AG=AF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC上一点，G是CD上一点，∠EAG=45°，过点A作AH⊥EG，请探究AH与AD的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，如果BE=3，DG=2，∠EAG=45°，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和三角形全等的判定和性质证明即可；
（2）延长CB至F，使BF=DG，由（1）得AG=AF，根据题意证明∠FAE=45°，得到△FAE≌△GAE，根据全等三角形的性质得到答案；
（3）设正方形ABCD的边长为x，表示出EC和GC，根据勾股定理列出方程，解方程求出正方形的边长，根据面积公式计算即可．

解答 （1）证明：在△ABF和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DG}\\{∠ABF=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADG，
∴AG=AF；
（2）AH=AD，
证明：延长CB至F，使BF=DG，
由（1）得，AG=AF，∠FAB=∠GAD，
∵∠EAG=45°，∴∠DAG+∠EAB=45°，
∴∠FAB+∠EAB=45°，即∠FAE=45°，
在△FAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAE，又AH⊥EG，AB⊥EF，
∴AH=AB，又AB=AD，
∴AH=AD；
（3）∵△FAE≌△GAE，∴EG=EF=FB+BE=5，
设正方形ABCD的边长为x，则EC=x-3，GC=x-2，
由勾股定理得，（x-3²）+（x-2）²=25，
解得，x=6，
则正方形ABCD的面积为6²=36．

点评 本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用，正确找出辅助线、灵活运用相关的性质和定理是解题的关键．