Question

已知，如图，在钝角△ABC中，BE和AD分别是AC和BC边上的高，BE和AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点．
（1）求证：∠FDG=90°；
（2）联结FG，试问△FDG能否为等腰直角三角形？若能，试求∠ABC的度数，并写出推理过程；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠GDC=∠ECB和∠FBD=∠FDB，根据Rt△BEC中∠EBC+∠ECB=90°即可解题；
（2）△FDG能为等腰直角三角形．理由：连接FG，若DG=DF，则BH=AC，易证∠EAH=∠DBH，即可证明△BDH≌△ADC，可得BD=AD，根据∠BDA=90°，即可解题．

解答：解：（1）∵在Rt△ADC中，GA=GC，
∴DG=GC，
∴∠GCD=∠GDC，
又∵∠ECB=∠GCD，
∴∠GDC=∠ECB；
同理∠FBD=∠FDB，
∵在Rt△BEC中，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠GDC+∠FDB=90°，即∠FDG=90°
（2）△FDG能为等腰直角三角形．
理由：连接FG，

若DG=DF，而DG=

1

2

AC，DF=

1

2

BH，
∴BH=AC，
∵∠EAH+∠BHD=90°，∠BHD+∠DBH=90°，
∴∠EAH=∠DBH，
在△BDH和△ADC中，

∠ADC=∠BDH ∠EAH=∠DBH BH=AC

，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∵∠BDA=90°，
∴∠ABC=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDH≌△ADC是解题的关键．