Question

如图，在Rt△ABC中，AC=40，BC=30，在其内部挖出一个矩形，问挖出的矩形的最大面积是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：设EM=x，利用平行线分线段成比例表示出EF，可得到矩形的面积关于x的二次函数，用二次函数的性质求出其最大值即可．

解答：解：在Rt△ABC中可求得AB=10

7

，过B作BD⊥AC于点D，交EF于点G，
利用面积相等可得AC•BD=AB•BC，解得BD=

30 7

4

设EM=x，则BG=BD-DG=BD-EM=

30 7

4

-x，且AC=40，
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BG

BD

，即

EF

40

=

30 7 4 -x

30 7 4

，解得EF=40-

16 7

21

x，
∴S_矩形EFNM=EF•EM=x（40-

16 7

21

x）=-

16 7

21

x²+40x，
该二次函数开口向下，
∴当x=

15 7

4

时，有最大值75

7

．
即挖出的矩形的最大面积为75

7

．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例及函数的最值，利用x分别表示出EF、EM得到关于x的二次函数是解题的关键．注意方程思想的应用．