Question

8．已知关于x的一元二次方程x²-2x+m+2=0有两个不等的实数根x₁和x₂
（1）求m的取值范围并证明x₁x₂=m+2；
（2）若|x₁-x₂|=2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-2）²-4（m+2）=-4m-4＞0解得m＜-1，再利用求根公式解方程，然后计算x₁x₂；
（2）先根据根与系数的关系得x₁+x₂=2，x₁x₂=m+2，再把|x₁-x₂|=2两边平方得到（x₁-x₂）²=4，接着利用完全平方公式变形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，所以4-4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x+m+2=0有两个不等的实数根x₁和x₂，
所以△=（-2）²-4（m+2）=-4m-4＞0
解得m＜-1，
根据求根公式${x_1}=1+\sqrt{-m-1}$，${x_2}=1-\sqrt{-m-1}$
∴${x_1}{x_2}=1-{（{\sqrt{-m-1}}）^2}=m+2$；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=2，x₁x₂=m+2，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴4-4（m+2）=4，
解得m=-2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．