题目内容
【题目】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,其中∠BAC=∠EDF=90°、AB=AC=1，△DEF中的点E在BC边上运动（不与B、C重合），DE始终经过点A,设EF交AC于点H
（1）求证：△ABE∽△ECH；
（2）设BE= 
，CH= 
，求
与
的函数关系式，并求当
取何值时， 
有最大值，最大值是多少？
（3）当点E运动到何处时，△ABE是等腰三角形，并求出此时CH的长。
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析： 
由等腰直角三角形的性质可得
通过角的等量代换得到
至此，便可证明
由
的结论，利用相似三角形的对应边成比例可得
结合等腰直角三角形的性质求出
的长，进而用含
的代数式表示出
，从而得到
与
的函数关系式；分析可知，得到的函数关系式是二次函数，利用二次函数的性质即可求出
取最大值时对应的
的值以及
的最大值；
由等腰三角形的性质可知需要分情况进行讨论.
试题解析： 
证明：因为
所以
所以
所以
（2）由（1）可知， 
所以
因为
是等腰直角三角形， 
所以
因为
所以
所以
所以
所以当
时， 
有最大值，最大值
.
（3）①当
时，因为
所以
所以
此时
②当
时， 
此时
综上可知，当
或
时， 
是等腰三角形，
的长为
或
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