Question

11．已知△ABC中，∠B=90°，D、E分别是BC、AC的中点，AB=4，BC=8，当△CDE绕点C旋转到A，E、D在同一直线上，求线段AE的长．

Answer 1

分析 如图1，当△CDE绕点C逆时针旋转∠BAC的度数时，A，E、D在同一直线上，
如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转90°时，A，E、D在同一直线上，
分别求AE的长即可．

解答 解：如图1，A，E、D在同一直线上，
∵BC=8，D′是BC的中点，
∴CD′=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
由旋转得：∠AEC=90°，CE=CD′=4，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8；
如图2，A，E、D在同一直线上，则∠ADC=90°，CD=CD′=4，
∵D′、E′分别是BC、AC的中点，
∴D′E′=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴DE=D′E′=2，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∴AE=AD+DE=8+2=10；
综上所述，线段AE的长是8或10．

点评 本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、旋转的性质，本题能根据旋转的性质画出图形是关键，注意不要丢解．