Question

17．已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：
（1）AQ⊥QP；
（2）△ADQ∽△AQP．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=4a，∠C=∠D=90°，由已知条件得出PC=a，DQ=CQ=2a，BP=3a，由勾股定理得出AQ、PQ、AP，由勾股定理的逆定理证明△APQ是直角三角形，∠AQP=90°，即可得出结论；
（2）证出$\frac{AD}{AQ}=\frac{DQ}{PQ}$，再由∠D=∠AQP=90°，即可得出△ADQ∽△AQP．

解答 证明：（1）设正方形ABCD的边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4a，∠C=∠D=90°，
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴PC=a，DQ=CQ=2a，BP=3a，
∴AQ=$\sqrt{A{D}^{2}+D{Q}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，
∵AQ²+PQ²=25a²，AP²=25a²，
∴AQ²+PQ²=AP²，
∴△APQ是直角三角形，∠AQP=90°，
∴AQ⊥QP；
（2）∵$\frac{AD}{AQ}=\frac{4a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{DQ}{PQ}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AD}{AQ}=\frac{DQ}{PQ}$，
又∵∠D=∠AQP=90°，
∴△ADQ∽△AQP．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．