Question

如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）

Answer 1

考点：垂径定理的应用

专题：

分析：过点O作OD⊥AC于点D，由垂径定理可知AD=BD，根据∠OAB=45°可知AD=OD，设AD=x，则OD=x，OA=

2

x，CD=x+BC=（x+50）米，再根据∠OCA=30°即可得出x的值，进而得出结论．

解答：解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，
∵∠OAB=45°，
∴AD=OD，
∴设AD=x，则OD=x，OA=

2

x，CD=x+BC=x+50）．
∵∠OCA=30°，
∴

OD

CD

=tan30°，即

x

x+50

=

3

3

，
解得x=25

3

-25，
∴OA=

2

x=

2

×（25

3

-25）=（25

6

-25

2

）（米）．
答：人工湖的半径为（25

6

-25

2

）米．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．