Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值；
（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的判断（等角对等边），通过证明△ABC∽△CAD得出对应角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）由（1）知BD=BC=AC，及AC²=AB•AD，可以求AC的值；
（3）利用36°，72°，108°角的特殊关系，设计等腰梯形，满足题意．

解答：（1）证明：∵∠A=36°，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=108°，
∵AC²=AB•AD，
∴AC：AB=AD：AC，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴AD=CD，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=72°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD，
即：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠BCD=∠A+∠ACD=72°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=108°-36°=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BC=BD，
设AC=x，
则BC=BD=x，AD=1-x，
∵AC²=AB•AD，
∴x²=1-x，
解得：x=

5 -1

2

或x=

- 5 -1

2

（舍去），
∴AC的值为

5 -1

2

．

（3）如图．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质．关键是根据线段相等，判断角的相等关系，以及三角形内角和定理的运用．