Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，
（1）求证：三角形ADC为等腰三角形；
（2）求AC的长．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（（1）根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明∠DAC=∠DCA，再根据等角对等边可得证得；
（2）过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=

1

2

AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，即△ADC是等腰三角形；
（2）解：过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=

1

2

AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴

CD

BC

=

CE

AC

，
即

6

BC

=

1

2

，
∴BC=12，
在直角△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

122-42

=8

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．