如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=10cm.AD=8cm.点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB.AC.AD于E.F.H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒．(1)当t=2时.连接DE.DF.求证:四边形AEDF为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）当t=2时，DH=AH=2，则点H是AD的中点，由EF⊥AD，得到EF为AD的垂直平分线，于是得到AE=DE，AF=DF，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由于EF∥BC，于是得到∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，等量代换得到∠AEF=∠AFE，得到AE=AF，于是得到结论；
（2）分三种情况：①点E为直角顶点，如图1，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，由PE∥AD，得到$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{3t}{5}$，此比例式不成立，故此情况不存在；②点F为直角顶点，如图2，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t，由PF∥AD，得到$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{10-3t}{5}$求得结果；③点F为直角顶点，如图3，过E作EM⊥BC于M，过F作FN⊥BC于N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD，得到$\frac{EM}{AD}=\frac{BM}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{BM}{5}$，求得BM=$\frac{5}{4}t$，PM=BP-BM=3t-$\frac{5}{4}$t=$\frac{7}{4}$t，在R_t△EMP中，由勾股定理得到PE²=$\frac{113}{16}$t²由于FN∥AD，于是得到$\frac{FN}{AD}=\frac{CN}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{CN}{5}$，得到CN=$\frac{5}{4}$t，在R_t△FNP中，在R_t△PEF中，由勾股定理得即可得到结果．

解答（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则点H是AD的中点，
∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形；

（2）解：存在，理由：
①点E为直角顶点，如图1，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，
∵PE∥AD，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{3t}{5}$，
∵t＞0，故此情况不存在；
②点F为直角顶点，如图2，
此时PF∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t，
∵PF∥AD，
∴$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{10-3t}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{17}$，
③点P为直角顶点，
如图3，过E作EM⊥BC于M，过F作FN⊥BC于N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD，
∴$\frac{EM}{AD}=\frac{BM}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{BM}{5}$，
解得：BM=$\frac{5}{4}t$，
∴PM=BP-BM=3t-$\frac{5}{4}$t=$\frac{7}{4}$t，
在R_t△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（$\frac{7}{4}$t）²=$\frac{113}{16}$t²，
∵FN∥AD，
∴$\frac{FN}{AD}=\frac{CN}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{CN}{5}$，
解得：CN=$\frac{5}{4}$t，
∴PN=BC-BP-CN=10-$\frac{17}{4}$t，
在R_t△FNP中，由勾股定理得：PF²=FN²+PN²=（2t）²+（10-$\frac{17}{4}$t）²=$\frac{353}{16}$t²-85t+100，
在R_t△PEF中，由勾股定理得：EF²=PE²+PF²即：（10-$\frac{5}{2}$t）²=（$\frac{113}{16}$t²）+（$\frac{353}{16}$t²-85t+100），
解得：t=$\frac{280}{183}$，t=0（舍去），
综上所述：当t=$\frac{40}{17}$秒，或t=$\frac{280}{183}$秒时，△PEF为直角三角形．